Введение

При использовании беззатравочной технологии, на начальном этапе получения монокристаллической отливки происходит конкурентный рост множества зародившихся зерен, приводящий к отбору одного зерна с преимущественной кристаллографической ориентировкой.

Известно, что для роста дендрита, образующего зерно, необходимо переохлаждение расплава, определяемое как разность температуры равновесного ликвидуса данного сплава и температуры вблизи вершины первичной оси дендрита. Известно также, что преимуществом в конкурентном росте обладают зерна с кристаллографической ориентацией [001], имеющей наименьшее отклонение от вектора градиента температуры. Согласно модели, предложенной Уолтоном и Чалмерсом [1], для роста зерна с преимущественной кристаллографической ориентацией требуется наименьшее переохлаждение расплава. Поэтому такое зерно опережает зерна с другой кристаллографической ориентацией и постепенно вытесняет их.

Модель [1] нашла экспериментальное подтверждение на бикристаллических отливках никелевых жаропрочных сплавов в случае роста двух расходящихся зерен, одно из которых имеет ориентацию [001] [ 2, 3, 4, 5 ]. Работа [3] подтверждает основополагающий тезис модели Уолтона и Чалмерса об опережении зерном с ориентацией [001] прочих зерен. Экспериментально показано, что зерна с кристаллографическим направлением [001] опережают как расходящиеся, так и сходящиеся зерна. Вместе с тем, известны экспериментальные данные, свидетельствующие об отсутствии подавления зерном с ориентацией [001] сходящегося с ним зерна [4, 5] либо о вытеснении зерна с ориентацией [001] сходящимся с ним зерном [2, 3], что противоречит модели Уолтона и Чалмерса. В работе [6] сделано предположение, что результаты, противоречащие геометрической модели Уолтона и Чалмерса, можно объяснить взаимодействием диффузионных полей конкурирующих дендритов, которое приводит к подавлению роста вторичных ветвей.

Согласно модели [1], величина отставания вершины дендрита должна зависеть от условий кристаллизации, то есть локальных значений градиента температуры G и скорости кристаллизации W. В экспериментальных исследованиях обычно оперируют технологическими параметрами процесса — скоростью перемещения формы и оценочной величиной градиента температуры для данной установки, которые могут значительно отличаться от истинных условий кристаллизации данного сечения отливки [7]. Поскольку способы оценки градиента температуры у разных авторов могут различаться, это затрудняет сравнение экспериментальных данных.

В связи со сложностью определения локальных условий кристаллизации в натурном эксперименте, для исследования конкурентного роста может быть проведен вычислительный эксперимент с использованием модуля CAFE системы ProCAST [8]. В работах [ 9, 10, 11 ] экспериментально подтверждена адекватность программного модуля и модели CAFE и проведены исследования конкурентного роста зерен в спиральных кристаллоотборниках различных размеров при направленной кристаллизации никелевых жаропрочных сплавов.

В настоящей работе с помощью численного моделирования в модуле CAFE системы ProCAST проведено систематическое исследование влияния условий кристаллизации на конкурентный рост зерен в отливке из сплава ЖС26 в виде пластины в широком диапазоне значений градиента температуры и скорости кристаллизации.

Методика вычислительного эксперимента

Для моделирования роста зерен был использован модуль CAFE системы компьютерного моделирования литейных процессов ProCAST. Моделировался процесс направленной кристаллизации тонкой пластины с размерами 200×40×4 мм при заданных градиенте температуры G в двухфазной зоне и скорости перемещения изотермы ликвидус W, которые оставались постоянными на протяжении всего процесса кристаллизации. Предполагалось, что на нижнем торце пластины зародились три зерна (А, B и A, рис. 1) заданной кристаллографической ориентации. Возможность образования каких-либо еще зерен, например, перед фронтом роста или на границах пластины (паразитные зерна) не рассматривалась.

Рис. 1. Схема эксперимента (а) и типичная макроструктура отливки, получаемая в вычислительном эксперименте (б)

Азимутальная ориентация всех зерен была таковой, что боковые грани пластины были параллельны кристаллографической плоскости (001). Во всех расчетах зерна типа A были ориентированы таким образом, что одно из кристаллографических направлений [001] совпадало с продольной осью пластины. Отклонение кристаллографического направления [001] от оси отливки зерна B варьировалось в пределах α=5÷54°. В модуле CAFE ориентация зерен задается углами Эйлера (φ1, φ, φ2), где угол φ1 определяет азимутальный разворот кристаллографической решетки, а угол φ определяет отклонение первичных осей дендритов от вектора градиента температуры. Таким образом, кристаллографическая ориентация зерен А всегда была задана углами φ1=0, φ=0, φ2=0. Кристаллографическая ориентация зерна В менялась следующим образом: φ1=0, φ=α, φ2=0.

Азимутальная ориентация всех зерен была таковой, что боковые грани пластины были параллельны кристаллографической плоскости (001). Во всех расчетах зерна типа A были ориентированы таким образом, что одно из кристаллографических направлений [001] совпадало с продольной осью пластины. Отклонение кристаллографического направления [001] от оси отливки зерна B варьировалось в пределах. В модуле CAFE ориентация зерен задается углами Эйлера (φ1, φ, φ2), где угол φ1 определяет азимутальный разворот кристаллографической решетки, а угол φ определяет отклонение первичных осей дендритов от вектора градиента температуры. Таким образом, кристаллографическая ориентация зерен А всегда была задана углами φ1=0, φ=0, φ2=0. Кристаллографическая ориентация зерна В менялась следующим образом: φ1=0, φ=α, φ2=0.

Условия роста зерен при направленной кристаллизации, то есть параметры и, меняются по длине отливки, даже если это отливка простой геометрической формы и постоянного сечения [12]. Поэтому структура в данном сечении отливки зависит не только от текущих условий кристаллизации, но и от предыстории роста зерен. Чтобы избежать этого влияния и обеспечить однозначное соответствие результатов конкурентного роста текущим условиям кристаллизации, в расчете были использованы модельные распределения температуры, отвечающие следующим требованиям: радиальный градиент температуры равен нулю, постоянный осевой градиент по всей двухфазной зоне и постоянная скорость перемещения изотермы ликвидус. Этим условиям удовлетворяет линейное распределение температуры в двухфазной зоне T=G(x-x_s)+T_s, G=const, x_s=Wτ. Распределения температуры были рассчитаны в тепловом модуле системы ProCAST с применением модуля UserFunction и использованы в качестве исходных данных для моделирования роста зерен в модуле CAFE.

Расчеты проводились для значений градиента температуры 5, 10, 40, 70, 100 и 300 К/см и скорости кристаллизации 1, 5 и 10 мм/мин, что практически охватывает весь диапазон градиентов температуры и скоростей кристаллизации, наблюдаемых при кристаллизации отливки типа рабочей лопатки газотурбинной установки.

Коэффициенты кинетического уравнения, связывающего скорость роста вершины дендрита V с переохлаждением ▲T — V=a₂▲T²+a₃▲T³ были рассчитаны с помощью модуля CAFE. Необходимые для этого данные — наклон поверхности ликвидуса m_i и коэффициент распределения k_i — были оценены по бинарным диаграммам состояния систем на основе Ni с основными легирующими элементами сплава ЖС26. Химический состав сплава ЖС26 и данные для расчета коэффициентов и приведены в таблице 1. Коэффициент Гиббса-Томсона Г, характеризующий влияние кривизны поверхности раздела фаз на переохлаждение расплава, и коэффициент диффузии в расплаве, также необходимые для расчета a₂ и a₃, приведены в таблице 2.

Согласно теории Уолтона и Чалмерса [1] зерно с преимущественной кристаллографической ориентацией подавляет соседей, поскольку их опережает. Предложенная в [13] схема конкурентного роста зерен в несколько измененном виде представлена на рис. 2. В установившемся режиме кристаллизации аксиальная составляющая скорости роста дендрита равна скорости изотермы ликвидуса, то есть V cosa=W, где — угол отклонения направления [001] от вектора градиента температуры. Отставание вершины дендрита от поверхности равновесного ликвидуса определяется выражением h=▲T/G, где ▲T — переохлаждение перед вершиной дендрита. Воспользовавшись выражением (1), можно получить выражение для величины отставания ▲h=h_B-h_A зерна В от зерна A (см. рис. 1) в следующем виде:

▲h=(W/a₃)^1/3(cos^-1/3α-1)/G) (2)

Рис. 2. Схема роста зерен с различной кристаллографической ориентацией по [13]

Как следует из (2), величина «ступеньки» на фронте роста между зернами A и B зависит от градиента температуры и, в меньшей степени, от скорости продвижения фронта. Кривые изменения в зависимости от ориентации зерен и параметров процесса кристаллизации показаны на рис. 3.

Рис. 3. Отставание зерна В от зерна А в зависимости от угла a, градиента температуры и скорости кристаллизации. 1 — G=5 К/см, W=10 мм/мин.; 2 — G=5 К/см, W=1 мм/мин.; 3 — G=40 К/см, W=10 мм/мин.; 4 — G=40 К/см, W=1 мм/мин.; 5 — G=100 К/см, W=10 мм/мин.; 6 — G=100 К/см, W=1 мм/мин.

В модуле CAFE с использованием метода клеточных автоматов имитируется рост твердой фазы на регулярной объемной сетке с кубической ячейкой [14]. Перемещение фронта твердой фазы происходит по направлениям [001] рассматриваемых зерен. Движение по направлению [001] можно представить как сумму перемещений в направлении нормалей к граням ячеек сетки. Если верно, что в конкурентном росте важную роль играет отставание зерна В, то можно предположить, что сетка должна быть достаточно мелкой, чтобы адекватно описать «ступеньку» на фронте роста зерен с различной кристаллографической ориентацией, то есть размер ячейки должен быть меньше ▲h. В этом случае твердая фаза получает возможность бокового роста, приводящего к подавлению отстающего зерна.

Типичная макроструктура отливки, полученная в вычислительном эксперименте, представлена на рис. 1. Граница между зернами A и B является плоскостью, а линия ее пересечения с боковыми границами отливки — прямой линией, что объясняется постоянством градиента температуры и скорости перемещения изотермы ликвидуса. В результате совместного роста зерен, как правило, происходит смещение границы между зернами в сторону зерна В, то есть происходит вытеснение зерна В, имеющего ненулевой угол отклонения направления роста [001] от вектора градиента температуры. Интенсивность вытеснения зерна В характеризуется углом наклона границы зерен .

Расчеты, проведенные для различных градиентов температуры и скоростей кристаллизации в диапазонах G=5, 10, 40, 100 К/см и W=1, 5, 10 мм/мин. показали, что угол отклонения границы сходящихся зерен при фиксированном угле α однозначно определяется единственным параметром — отношением ▲h/S_c (рис. 4).

Рис. 4. Угол отклонения границы сходящихся зерен А и В при α=10о, 20о и 30о в зависимости от параметра

Расчеты проводились при S_C=5 и 20 мкм. Для G=40 К/см и W=1, 10 мм/мин. дополнительно были проведены расчеты при S_C=40, 50 и 80 мкм.

При ▲h/S_c больше некоторой величины ▲h_a, зависящей от угла α, результат моделирования не зависит ни от выбора S_c, ни от условий кристаллизации. Как видно из рис. 4, при α=30°▲h_α≈20, то есть размер ячейки многократно меньше «ступеньки» на фронте роста.

При ▲h/S_c<▲h_α результат моделирования полностью зависит от этого параметра. Даже, несмотря на значительное отклонение зерна В от преимущественной ориентации (α=30°), при значениях ▲h/S_c<▲h_α угол отклонения границы β резко уменьшается с уменьшением параметра ▲h/S_c.

Уменьшение ▲h/S_c может быть связано с условиями кристаллизации — с высоким градиентом температуры G и/или низкой скоростью кристаллизации W, при которых ▲h->0, либо с выбором грубой сетки, то есть когда S_c≥▲h. Таким образом, для получения результатов моделирования, адекватных реальной картине конкурентного роста, правильный выбор S_c имеет решающее значение.

Величину S_c следует выбирать, опираясь на аналогию между распространением твердой фазы по ячейкам кубической сетки и ростом ветвей дендритов, то есть исходя из параметров дендритной структуры, которая формируется при данных условиях кристаллизации.

В случае сходящихся зерен одним из возможных механизмов подавления отстающего зерна является механическое препятствование его росту. В работе [16] было сделано предположение, что эффективное подавление отстающего зерна возможно в том случае, если лидирующее зерно опережает своих конкурентов на величину, равную и большую расстоянию между вторичными осями дендритов λ₂. Это позволяет свободно развиваться вторичным ветвям лидирующего зерна перед вершинами дендритов отстающего зерна и тем препятствовать его росту. В работе [13], ссылаясь на экспериментальные результаты, полученные на прозрачных органических веществах, полагали, что к боковому росту способны лишь некоторые вторичные ветви дендрита, расстояние между которыми составляет несколько λ₂, и размер сетки следует соотносить с этим расстоянием.

В работах [3, 6] были измерены расстояния между вторичными осями дендритов на отливках, закаленных из процесса направленной кристаллизации. Было установлено, что на начальной стадии развития вторичных осей равно 10−15 мкм. Ориентируясь на результаты этих исследований, было принято, что размер элементарной ячейки расчетной сетки должен выбираться в диапазоне 5−20 мкм.

Результаты вычислительного эксперимента

Расходящиеся зерна, Sc=5 мкм. В случае с расходящимися зернами (рис. 5а и 5б), отставание зерна В не играет существенной роли, поскольку вытеснение зерна В происходит путем распространения вторичных ветвей дендрита зерна A в боковой зазор между зернами [3, 5].

Вытеснение зерна В наблюдается во всем исследованном диапазоне углов α от 5° до 45°. Изменение угла β в этом диапазоне очень хорошо описывается зависимостью β=0.5α, что вполне согласуется с результатами работы [5].

Уменьшение угла β при углах α<45° связано с изменением статуса зерна В. Из расходящегося зерна оно превращается в сходящееся, поскольку наименьший угол отклонения от вектора градиента температуры будет иметь направление [001], направленное не от зерна, а к зерну А. Поэтому значения угла при для расходящихся зерен приблизительно равны значениям при для сходящихся зерен.

Сходящиеся зерна, Sc=5 мкм. Результаты, представленные на рис. 5в и 5 г, показывают, что в случае сходящихся зерен при углах α<20° вытеснение зерна B практически не происходит. Этот результат также согласуется с экспериментальными данными, приведенными в [2, 5, 6, 10]. Согласно теории, в случае со сходящимися зернами зерно B блокируется вторичными ветвями дендрита зерна A. Для реализации этого механизма конкурентного роста необходимо, чтобы зерно A опережало зерно B на расстояние, превышающее S_c. При α<20° величина опережения ▲h близка по величине к размеру элементарной ячейки S_c (рис. 3), что затрудняет боковое распространение фронта твердой фазы.

Рис. 5. Угол границы между зернами в зависимости от ориентации зерна В. а — расходящиеся зерна, W=1 мм/мин.; б — расходящиеся зерна, W=10 мм/мин.; в — сходящиеся зерна, W=1 мм/мин.; г — сходящиеся зерна, W=10 мм/мин.; Расчет: 1 — G=5 K/см; 2 — G=10 K/см; 3 — G=40 K/см; 4 — G=100 K/см; 5 — G=300 K/см

При больших углах α отставание зерна B от зерна A существенно больше размера элементарной ячейки, что позволяет зерну А свободно распространяться перпендикулярно градиенту температуры и блокировать соседа. Как и для расходящихся зерен, при α>20° угол наклона границы β сходящихся зерен может быть аппроксимирован линейной зависимостью β=0.5(α-20°).

Влияние размера сетки. Результаты, представленные на рис. 6, получены при моделировании конкурентного роста на расчетной сетке с размером ячейки SC=20 мкм.

В случае расходящихся зерен (рис. 6а и рис. 6б), при градиенте температуры более 100 К/см и углах α<10° происходит совместный рост зерен A и B без вытеснения последнего, что связано, по-видимому, с тем, что в этих условиях зазор между зернами существенно меньше и, потому неразличим при данном размере сетки. Эти результаты могут быть подкреплены экспериментальными данными [6], приведенными в таблице 3.

При малом градиенте температуры, то есть в условиях, когда зазор между зернами A и B соизмерим или больше S_c, результаты, представленные на рис. 6а и 6б (кривые 1−3), в целом схожи с результатами, представленными на рис. 5а и рис. 5б.

Рис. 6. Угол границы между зернами в зависимости от ориентации зерна В. а — расходящиеся зерна, W=1 мм/мин.; б — расходящиеся зерна, W=10 мм/мин.; в — сходящиеся зерна, W=1 мм/мин.; г — сходящиеся зерна, W=10 мм/мин.; Расчет: 1 — G=5 K/см; 2 — G=10 K/см; 3 — G=40 K/см; 4 — G=100 K/см; 5 — G=300 K/см. Эксперимент: 6 — [3]; 7 — [5]; 8 — [6]; 9 — [2]

В случае сходящихся зерен при градиенте температуры более 40 К/см и углах α<20° зерно B вытесняет зерно A. В целом это подтверждается экспериментальными исследованиями [3]. Однако в данный момент объяснение этого результата в рамках геометрической модели взаимодействия зерен отсутствует.

Сравнение рис. 5 и рис. 6 показывает, что выбор размера сетки способен существенно изменить результаты моделирования. На мелкой сетке результаты моделирования для расходящихся зерен показывают безусловное подавление зерном А зерен с другими кристаллографическими ориентировками. Происходит также подавление сходящихся зерен при условиях кристаллизации, для которых ▲h существенно больше S_c.

Увеличение S_c приводит к результатам, предсказывающим трудности с подавлением сходящихся и расходящихся зерен В с углом отклонения α<20° при низкой скорости кристаллизации и высоком градиенте температуры. По существу S_c является настроечным параметром модели CAFE, который должен быть согласован с физической картиной конкурентного роста исходя из аналогии между распространением твердой фазы по ячейкам равномерной сетки и боковым ростом вторичных осей дендритов.

Сравнение с экспериментом

В таблицах 3 и 4 представлены экспериментальные данные для бикристаллических отливок из никелевых жаропрочных сплавов. Трудность их сравнения с результатами моделирования состоит в том, что для идентификации режимов, в которых были получены отливки, в одних работах указаны градиент температуры и скорость перемещения формы, в других — градиент температуры и расстояние между первичными осями дендритов или скорость перемещения формы и λ₁. В целях сравнения с результатами, представленными на рис. 6 и рис. 7, недостающие значения G и W были рассчитаны с помощью зависимости λ₁=620(GW)^-0,333 [17, 5]. Предполагалось, что указанные в литературе значения скорости перемещения формы могут быть приняты за скорость кристаллизации W. Подготовленные таким образом данные были наложены на результаты моделирования. Как видно из рис. 6, имеется качественное совпадение вычислительного и натурного эксперимента.

Рис. 7. Градиент температуры и скорость роста, обеспечивающие требуемые условия конкурентного роста сходящихся зерен. Линии — B=const. Цифрами показаны значения угла. а) -a=30; б) -a=20; в) -a=10

Для расходящихся зерен в работе [5] предложены выражения для расчета угла наклона границы β в зависимости от угла α. Рассчитанные по ним углы хорошо согласуются с вычислительным экспериментом. Результаты по расходящимся зернам, полученные в работе [3], относятся к направленной кристаллизации с градиентом температуры 128 К/см. Учитывая возможную ошибку определения градиента при помощи термопар, можно говорить о том, что эти данные удовлетворительно согласуются с результатами вычислительного эксперимента при G=100 K/см и W=1 мм/мин. на сетке SC=20 мкм (рис. 6а).

Экспериментальные данные по сходящимся зернам свидетельствуют об отсутствии вытеснения зерен В [2, 5, 6] или о подавлении зерна A зерном В [3]. Вычислительный эксперимент качественно совпадает с этими результатами. На сетке с размером ячейки 5 мкм β<1°÷2° при углах α<20°, что согласуется с данными [2, 5, 6], а на сетке с размером ячейки 20 мкм зерно B вытесняет зерно A в диапазоне ориентировок при градиенте температуры больше 100 К/см, что согласуется с данными [3]. Эти результаты еще раз демонстрируют зависимость результатов моделирования от настроечного параметра S_c. С другой стороны, результаты [2, 5, 6] относятся к режимам кристаллизации, при которых опережение зерном А зерна В, рассчитанное по (2), лежит в узком интервале ▲h/λ₂ (табл. 4). Таким образом, отливки, на которых проводились исследования, получены в условиях, близких с точки зрения конкурентного роста, что объясняет схожесть результатов, полученных в [2, 5, 6]. Согласно рис. 5, в этих условиях роста угол наклона границы мал, то есть не происходит вытеснение зерна В, что и подтверждается экспериментальными данными.

Практические рекомендации

Градиент температуры и скорость кристаллизации являются технологическими параметрами, которые важно контролировать в процессе кристаллизации.

Выше были представлены результаты, указывающие на то, что угол наклона границы конкурирующих зерен β однозначно определяется отношением величин ▲h и дисперсности дендритной структуры. В реальном β=f(▲h/S_c) процессе дисперсность структуры характеризуется расстоянием между вторичными осями дендритов, а в модели CAFE — параметром. С помощью выражения (2) зависимость, построенная по результатам вычислительных экспериментов, может быть преобразована к виду, позволяющему выработать практические рекомендации по выбору параметров технологического процесса.

На рис. 7 линиями постоянного угла β ограничены области режимов роста в координатах G-W. Подавление зерен с ориентацией α≥20° (рис. 7а и рис. 7б) происходит в диапазоне градиентов температуры, ширина которого зависит от скорости роста и угла α. С уменьшением градиента температуры увеличивается угол наклона границы β, то есть увеличивается скорость вытеснения зерна В. С уменьшением разориентации зерен (с уменьшением угла α) уменьшается максимальный градиент температуры, при котором возможно подавление зерна В. При углах разориентации α≤10° (рис. 7в), при низких градиентах температуры происходит совместный рост зерен (β=0), а при высоких градиентах — напротив, зерно В подавляет зерно А. Подавление зерна А экспериментально наблюдалось в работе [3] (см. табл. 4), при углах α≥10° .

В случае сходящихся зерен при любых градиентах температуры и скоростях кристаллизации происходит вытеснение зерен В.

Таким образом, для эффективного отбора зерен с преимущественной ориентацией (типа А) благоприятны режимы с невысоким градиентом температуры и большой скоростью роста. Однако подавление зерен с разориентацией менее 10 градусов проблематично: результатом конкурентного роста является либо бикристалл, либо монокристалл с ориентацией зерна В, то есть с отклонением от направления [001]. Если для подавления сильно разорентированных зерен предпочтителен низкий градиент температуры, то для получения такого монокристалла нужно увеличивать градиент температуры.

Выводы

1. Результат моделирования конкурентного роста сходящихся зерен с аксиальной разориентацией может быть поставлен в зависимость от единственного параметра — отношения ▲h/S_c. Пределы чувствительности результата к этому параметру зависят от угла разориентации зерен α.
2. Опираясь на аналогию распространения твердой фазы по равномерной сетке в методе клеточных автоматов с ростом дендрита по направлениям [001], можно предположить, что результат конкурентного роста зависит не только от опережающего роста зерна с преимущественной ориентацией, то есть величины ▲h, но и от расстояния между вторичными осями дендритов λ₂.
3. Результаты моделирования в модуле CAFE системы ProCAST хорошо согласуются с известными экспериментальными данными, что позволяет использовать эту модель для изучения роста зерен в условиях, вызывающих затруднения с точки зрения постановки эксперимента.
4. С помощью вычислительного эксперимента получены закономерности изменения угла β наклона границы между зернами в зависимости от угла их разориентации α, градиента температуры на изотерме ликвидус G и скорости ее перемещения W, в диапазоне значений, характерном для технологического процесса получения монокристаллической отливки из никелевого жаропрочного сплава.
5. Для отбора зерен с преимущественной ориентацией благоприятны режимы с невысоким градиентом температуры и большой скоростью роста. Эффективность отбора падает с уменьшением угла разориентации зерен.

Литература

1. Walton D., Chalmers B. The origin of the preferred orientation in the columnar zone of ingots // Transaction of AIME 1959. V.215. P. 447−452.
2. D’Souza N., Ardakani M.G., Wagner A., Shollock B.A., McLean M. Morphological aspects of competitive grain growth during directional solidification of a nickel-base superalloy, CMSX4 // Journal of Materials Science 2002. V.37. P.481−487.
3. D’Souza N., Ardakani M.G., Wagner A., Shollock B.A., McLean M. Morphological aspects of competitive grain growth during directional solidification of a nickel-base superalloy, CMSX4 // Journal of Materials Science 2002. V.37. P.481−487.
4. Zhao Xinbao, Liu Lin, Zhang Weiguo, Qu Min, Zhang Jun, Fu Hengzhi. Analysis of Competitive Growth Mechanism of Stray Grains of Single Crystal Superalloys during Directional Solidification Process // Rare Metal Materials and Engineering 2011. V.40. № 1. P. 9−13.
5. Толорайя В.Н., Каблов Е.Н., Светлов И.Л. Ростовая структура при направленной кристаллизации никелевых жаропрочных сплавов // Металловедение и термическая обработка. 2006. № 8. C. 25−32.
6. Wagner A., Shollock B.A., McLean M. Grain structure development in directional solidification of nickel-base superalloys // Materials Science and Engneering A. 2004. V.374. P. 270−279.
7. Монастырский В.П. Моделирование и оптимизация процесса направленной кристаллизации рабочих лопаток ГТД // Литейщик России. 2009. № 7. C. 18−23.
8. ProCAST, торговая марка ESI Group, France, www.esi-group.com.
9. Carter P., Cox D.C., Gandin C.A., Reed R.C. Process modeling of grain selection during the solidification of single crystal superalloy castings // Materials Science and Engineering. 2000. V. A280. P. 233−246.
10. Dai H.J., Dong H.B., D’Souza N., Gebelin J.-C., Reed R.C. Grain Selection in Spiral Selectors During Investment Casting of Single-Crystal Components: Part II. Numerical Modeling // Metallurgical and Materials Transactions A. 2011. V. 42A. Nov. P. 3439−3446.
11. Chubin Yang, Lin Liu, Xinbao Zhao, Ning Wang, Jun Zhang, Hengzhi Fu. Competitive grain growth mechanism in three dimensions during directional solidification of a nickel-based superalloy // Journal of Alloys and Compounds. 2013. V. 578. P. 577−584.
12. Монастырский В.П., Кондратьева М.С. Моделирование направленной кристаллизации отливок из никелевых жаропрочных сплавов в установке с водоохлаждаемым кристаллизатором // Литейщик России. 2013. № 1. C. 23−27.
13. Rappaz M., Gandin Ch.-A. Probabilistic Modelling of Microstructure Formation in Solidification Processes // Acta Metall.Mater. 1993. V.41. № 2. P. 345−360.
14. Rappaz M., Gandin Ch.-A. Probabilistic Modelling of Microstructure Formation in Solidification Processes // Acta Metall.Mater. 1993. V.41. № 2. P. 345−360.
15. Xiaoli Yang, Dylan Ness, Lee P.D., D’Souza N. Simulation of stray grain formation during single crystal seed melt-back and initial withdrawal in the Ni-base superalloy CMSX4 // Materials Science and Engineering A 2005. V.413−414. P. 571−577.
16. Монастырский В.П., Качанов Е.Б., Наумов М.И. Математическая модель конкурентного роста столбчатых зерен при направленной кристаллизации многокомпонентного расплава // Труды IV Всесоюзной конференции по проблемам кристаллизации сплавов и компьютерного моделирования «Кристаллизация и компьютерные модели», Ижевск: УдГУ. 1991. C. 10−24.
17. Светлов И.Л., Кулешова Е.А., Монастырский В.П., Толорайя В.Н., Кривко А.И., Панкратов В.А., Орехов Н.Г., Башашкина Е.В., Головко Б.А. Влияние направленной кристаллизации на фазовый состав и дисперсность структуры никелевых сплавов // Известия АН СССР. Металлы. 1990. № 1. C. 86−93.